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Presuposiciones sobre tortugas y asuntos no afines

Article de Pere de la Fuente i Salvador López Arnal sobre algunes dones davant les Matemàtiques

Presuposiciones sobre tortugas y asuntos no afines

 


De tal modo, por naturaleza, están definidos la mujer y el esclavo... Entre los bárbaros, la mujer y el esclavo ocupan el mismo rango. La causa de esto es que carecen del elemento gobernante por naturaleza. Así que su comunidad resulta de eslavo y esclava...Al referirnos de nuevo al hombre y los demás animales sucede lo mismo...También en la relación del macho con la hembra, por naturaleza, el uno es superior al otro; la otra, inferior; por consiguiente, el uno domina; la otra es dominada.

Del mismo modo es necesario que suceda entre todos los humanos...Mucho mejor hablan los que enumeran las virtudes, como Gorgias, que los que las definen así, en general. Así que hay que pensar que lo que el poeta ha dicho sobre la mujer podría aplicarse a todas: “A una mujer le sirve de joya el silencio”.

Pero eso no va con el hombre…

Aristóteles, Política, libro I, cap.II, V,  XIII (1)

 

1. Introducción

Cuando Julia Robinson ingresó en la Academia Nacional de Ciencias Norteamericana y recibió el Premio MacArthur, fue citada como ejemplo de mujer triunfadora en un mundo compuesto fundamentalmente por varones. En un pasaje sin duda significativo de su discurso de agradecimiento, Robinson señaló:

Toda esta atención ha sido gratificante, pero también embarazosa. Lo que soy realmente es una matemática. Más que recordada como la primera mujer en esto o aquello, prefiriría ser recordada como una matemática, debería serlo, sencillamente, por los teoremas que he demostrado y los problemas que he resuelto. (2)


El loable deseo de Robinson no quita un ápice de verdad a las malas, a las pésimas relaciones históricas entre las matemáticas y las mujeres. Tradicionalmente y hasta hace muy poco tiempo, mujer y matemáticas han sido términos opuestos cuando no contradictorios. Negro sobre blanco se ha esgrimido “el sabio argumento” de que las mujeres no podían hacer matemáticas, dado que, muy pocas, de hecho, las habían estudiado. El “razonamiento” tiene el mismo valor que el sostiene la inferioridad   intelectual de los hijos e hijas de trabajadores arguyendo que entre ellos el porcentaje de doctores, en tal o cual materia, es mucho menor que entre descendientes de familias burguesas ilustradas. Argumentos así, más que refutaciones, lo que exigen son cambios de página.

La concepción opuesta es mucho más verosímil: lo sorprendente es que, a pesar de los enormes y casi insalvables obstáculos a los que han tenido que enfrentarse, haya habido mujeres que hayan saltado por encima de ellos de forma casi milagrosa. Parece casi imposible que en las condiciones en las que tradicionalmente se ha desarrollado su existencia, algunas mujeres hayan podido destacar en tal o cual disciplina. Especialmente, en nuestro caso, en el campo de las matemáticas.

Y las ha habido. Milagrosamente, si se quiere, pero su conjunto no es vacío. Queremos dar cuenta de cuatro de ellas. Su vida, su tenacidad, sus logros, son pruebas fehacientes de lo que queremos mostrar: cómo, a pesar de los muros de contención impuestos por razones estrictamente sexistas, ha habido mujeres que derrumbándolos han  podido aportar notables contribuciones a la historia de las ciencias matemáticas. A título de ejemplo nos referiremos a los casos de Hypatia, Sophie Germain, Sonya Kowalevsky y Emmy Noether.

 

2. Hypatia

Vestida con el manto de los filósofos, abriéndose paso en medio de la ciudad, explicaba públicamente los escritos de Platón, o de Aristóteles, o de cualquier filósofo, a todos los que quisieran escuchar... Los magistrados solían consultarla en primer lugar para su administración de los asuntos de la ciudad.

Hesiquio el Hebreo


Hija de Teón de Alejandría, Hypatia nació en el siglo IV de nuestra era (hacia el año 370). Fue la primera mujer que leyó y comentó críticamente grandes obras avanzadas de su época (3). Su padre Teón escribió un comentario sobre el Almagesto de Ptolomeo y editó nuevas ediciones de los Elementos y de la Óptica de Euclides. Se cree que Hypatia le ayudó en la parte 11ª de su tratado sobre el Almagesto y en su versión de los Elementos. Comoquiera que sea, Hypatia destacó no sólo en el campo de las matemáticas, sino en los de la medicina y la astronomía. Vinculada a la biblioteca de Alejandría, ninguno de sus papeles nos ha sobrevivido. Aquélla fue destruida poco después de su muerte.

La gran biblioteca de Alejandría fue construída y sostenida por los Ptolomeos, los reyes griegos que heredaron la parte egipcia del imperio de Alejandro Magno. Levantada en el siglo -III, sobrevivió durante siete siglos. Corazón y cerebro del mundo antiguo, la biblioteca fue dipositaria de las copias de libros más exactas del mundo. El Antiguo Testamento, por ejemplo, ha llegado hasta nosotros gracias a las traducciones griegas efectuadas en ella. Los Tolomeos dedicaron parte de su infinita riqueza a la adquisición de las obras griegas y de las grandes obras de otras culturas (Persia, India, Africa,...). Así, Tolomeo III Evergetes consiguió prestados de Atenas los originales manuscritos de las grandes tragedias clásicas. Pudo obtenerlas después de depositar una fuerte cantidad de dinero. No los devolvió, prefirió perder la fortuna depositada.

Figuras de relieve surgieron durante esta época. Así, Eratóstenes, que cartografió la Tierra y calculó su tamaño; Hiparco que detectó las posiciones y las magnitudes de algunas estrellas y su caducidad, así como Galeno y el mismo Euclides, el geómetra. Probablemente, el último científico -mejor, la última científica- que trabajó en la Biblioteca fue Hypatia, caso absolutamente singular en un mundo copado por varones únicamente,

Según Suidas, además de sus contribuciones en los escritos de su padre, elaboró comentarios sobre la Aritmética de Diofanto y las Secciones Cónicas de Apolonio.

Sumergida en la cultura neoplatónica de Plotino y Yámblico, Hypatia se convirtió, hacia el 400, en la cabeza visible de esta escuela en Alejandría. A sus clases asistieron distinguidos personajes de la época como Syneius de Cyrene, el último obispo de los Tolomeos. Se sabe que se intercambiaron cartas. En una de ellas el obispo le pregunta cómo construir un astrolabio y un hidroscopio.

En aquellos años, el cristianismo estaba consolidando su poder en el mundo clásico. Alejandría era entonces una colonia romana. Cirilo, el arzobispo de Alejandría,  despreciaba a Hypatia. Su amistad con Orestes, el prefecto romano de Egipto, antiguo alumno, su papel como símbolo de la cultura y la ciencia helenas que la primitiva Iglesia cristiana identificaba con el paganismo y, probablemente, el mismo hecho de ser una mujer culta en un mundo exclusivamente masculino, originaron el odio cirilense.

Hypatia siguió enseñando y publicando hasta que, en el año 415, cuando regresaba a su casa, cayó en manos de una turba fanática de feligreses de Cirilo,  quienes  le arrancaron del carruaje, la arrastraron a la iglesia Cesárea, rompieron sus vestidos y, armados con conchas marinas, la desollaron, arrancándole la carne de los huesos. Sus restos fueron quemados, sus obras destruidas, su nombre olvidado. Cirilo, en cambio, el “ pacífico y tolerante” arzobispo fue elevado a la categoría de santo de la Iglesia (4), santificación que no ha sido corregida y homicidio que no ha conllevado ni tan siquiera el manido y fácil perdón.

El prefecto romano, amigo de nuestra matemática, informó del asesinato y solicitó a Roma que se iniciara una investigación, que se pospuso en repetidas ocasiones por “falta de testigos”. Cirilo, el canonizado, proclamó más tarde, falsamente, que Hipatia seguía viva en Atenas. Orestes, precavidamente, renunció a su situación y huyó de Alejandría. El brutal asesinato de Hipatia marcó el final de la enseñanza platónica en Alejandría y, seguramente, en todo el Imperio romano.

3. Sophie Germain (1776-1831)

Damos un salto de casi catorce siglos. En el siglo XVIII, en tiempos de Ilustración, no habría que olvidar empero los nombres de Emilie de Châtelet (1706-1749), la traductora de los Principia al francés y compañera de Voltaire; de Maria Agnesi (1718-1799), de Maria Sommerville (1780-1872) o de Ada Lovelace (1815-1852), la hija de Byron, cuyo papel en los inicios de la historia de la informática ha merecido que su nombre sea usado para mencionar un lenguaje de programación.  Nos centraremos en la obra de la matemática Sophie Germain (5).

Germain nació en París el 1 de abril de 1776. Hija de Ambroise-François Germain y de Marie-Magdeleine Gruguelu, su padre fue diputado de los Estados Generales después de la Asamblea Constituyente, y se presentó a sí mismo como tenaz defensor de los Derechos del “Tercer Estado”, del que él mismo era representante. Más tarde llegó a ser director del Banco de Francia.

La extensa biblioteca paterna permitió a Germain educarse en casa. Desde muy joven sintió fascinación por los trabajos matemáticos que encontró en la ella. A los 13 años, leyó la descripción de Plutarco de la muerte de Arquímedes en manos de soldados romanos. Desde entonces el gran matemático de la Antigüedad clásica se convirtió en su héroe. Germain tomó la decisión firme de convertirse en matemática, pero no fue fácil, su caso ilustra nítidamente la idea de que en los no lejanos siglos XVIII y XIX la matemática seguía siendo un lugar inhóspito para una mujer.

Germain sufrió de entrada la oposición paterna y materna para seguir estudios matemáticos. Después de estudiar latín y griego, leyó como pudo a Newton y Euler. Tuvo que introducir libros a escondidas en su habitación y leerlos a la luz de las velas. Sabedores de ello, sus padres le quitaron velas y mantas para impedirle que fuera correteando por los pasillos de la casa, pero ni siquiera esas medidas pudieron doblegarla.

La Biblioteca familiar le fue útil hasta sus 18 años. Su entrada en la Universidad fue imposible. Las mujeres tenían vetada su entrada. Tuvo que seguir las clases desde fuera del aula, a la puerta de clase, captando la información que podía y tomando prestados los apuntes de sus “compasivos compañeros varones”. Así pudo tener noticia de los Cáhiers de lecturas de Lagrange sobre análisis.

Tomando por vez primera, aunque no última, el nombre de Le Blanc,  Germain escribió un artículo sobre análisis y se lo envió al mismísimo Lagrange. Asombrado éste de la originalidad y exactitud del trabajo, quiso conocer a su autor descubriendo que monsieur Le Blanc era realmente madame Sophie Germain. Desde entonces, sea dicho en honor de Lagrange, éste se convirtió en su tutor matemático.

La correspondencia que sostuvo Germain con grandes intelectuales de la época muestra su alta educación en materias tan diversas como las matemáticas, la literatura, la biología y la filosofía. Se escribió, por ejemplo, con Legendre acerca de problemas surgidos a finales del siglo XVIII en la teoría de números. La correspondencia es voluminosa y el mismo Legendre incluyó algunas de las demostraciones de  Germain en el suplemento a la segunda edición de su Théorie.

Una de las máximas contribuciones de nuestra matemática tiene que ver con el  último teorema de Fermat (6). El teorema, como es sabido, afirma que para todo entero positivo n, superior a 2, no existen ternas de eneros positivos, tales que la suma de la enésima potencia del primero más la enésima potencia del segundo iguale a la enésima potencia del tercero. Por razones de orden matemático (7), demostrar la conjetura de Fermat era equivalente a probarla para n=4 y para todos los números primos. El propio Fermat demostró su conjetura para el primer caso (8). Euler lo demostró para n igual a 3. Más tarde, en 1825, Adrien Marie Legendre y J.Peter Gustav Leujeune zanjaron el caso para n igual a 5. Ernst Kummer, en 1850, eliminó de un solo golpe todos los exponentes primos menores de 100, salvo el 37, el 59 y el 67 (9).

La aportación de Germain a la historia de la resolución del teorema consistió en la demostración de la imposibilidad de soluciones positivas, x, y  y z, si esos números no eran divisibles por el exponente p (10), para todo p menor que 100. Es decir, si, por ejemplo, p es igual 5, Germain demostró que no hay soluciones, x, y y z, si ninguno de esos tres números es divisible por 5. No hay afirmación general: no se prueba aquí que no haya soluciones para la ecuación discutida, sino que, si las hubiera, alguno de los elementos de la terna debía ser divisible por el  exponente en cuestión.

El nombre de Le Blanc lo usó Germain en otras ocasiones. Leídas las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, se atrevió a escribir al gran matemático alemán apuntando innovaciones de los resultados contenidos en su obra. Gauss quedó impresionado. Ella -él, para Gauss, en aquel momento- demostraba haber leído sus escritos con detenimiento y dominio, presentando, con rigor, algunas ampliaciones y  generalizaciones de sus resultados.

Cuando las tropas francesas ocuparon Hannover, Germain temió lo peor. Recordando el caso de la muerte de Arquímedes por soldados romanos, intercedió frente al comandante en jefe de las tropas francesas, el general Pernety, amigo de su familia. Por ello, a partir de 1807, Gauss conoció la auténtica personalidad de su corresponsal Le Blanc.  En ese mismo,  Germain escribía a Gauss diciéndole (11):

“He optado anteriormente por el nombre de Le Blanc para comunicarle esas notas que, sin duda, no merecen la indulgencia con la que usted me ha respondido... Espero que la información que le he confiado no me prive del honor que se ha dignado acordarme con un nombre prestado y que me dedicara unos pocos minutos para darme noticias sobre usted”


La respuesta de Gauss merece, sin duda, su reproducción (12):

“El gusto por las ciencias abstractas, en general, y sobre todo, por los misterios de los números, es muy raro: esto no es sorprendente, ya que los encantos de esta ciencia sublime se autorrevelan en toda su belleza sólo a los que tienen el valor de comprenderla por completo. Pero cuando una mujer, a causa de su sexo, nuestras          costumbres y prejucios, encuentra infinitamente más obstáculos que los hombres para familiarizarse con sus intrincados problemas y, sin embargo, supera estas restricciones y penetra en lo que es más recóndito, sin duda posee el más alto valor, un talento extraordinario y un genio superior...” (la cursiva es nuestra)


Reconocía Gauss, además, que los trabajos matemáticos de Le Blanc- Germain “me han proporcionado miles de placeres”.

No fue ésta, sin embargo, la última vez en Germain tuvo que esconder su género, su identidad. La Academia Francesa convocó un premio en 1816 en torno a la natualeza de las vibraciones en placas elásticas. De nuevo tuvo que presentarse con su seudónimo de Antoine Le Blanc para no revelar el imperdonable pecado de ser mujer.
Ganó el premio por su agudo análisis de la naturaleza de esas vibraciones.

En 1821 publicó su artículo bajo el título Remarques sur la nature, les  bornes et l´étendue de la question des surfaces élastiques et équation générale de ces surfaces (13), en el que estableció que la ley para la vibración general de una superficie elástica venía dada por la diferencial parcial de cuarto orden de una ecuación.

En sus últimos papeles, Germain siguió trabajando en el campo de la física de curvas elásticas de superficies vibratorias. Escribió igualmente dos obras de filosofía como Pensées diverses y Considérations générales sur l´état des sciences et des lettres (póstumamente recogidas en las Oeuvres  philosophiques de Sophie Germain, 1879). En la segunda de estas obras filosóficas desarolla la entonces novedosa y original idea de la unidad del pensamiento, esto es, la tesis de que no ha habido ni habrá una diferencia básica entre las ciencias y las humanidades respecto a su motivación, su metodología y su importancia cultural.

A petición de Gauss, una vez revelada su identidad, se le iba a galardonar, por primera vez en la historia, con un doctorado honorario en la universidad de Göttingen. Su temprana muerte impidió que se confirmara este honor.

 

4. Sonya Kovalevsky (14)

No veo que el sexo de un candidato sea una razón en contra de su admisión. Después de todo, esto es una universidad y no un establecimiento de baños públicos.

David Hilbert


Nacida en Moscú el 15 de enero de 1850, es también conocida con el nombre de Sofia Kovalevskaia.           Ha sido considerada, por algunos historiadores, como la mejor matemática anterior al siglo XX. Hija de un general ruso, Vasily Korvin-Krukovsky y de Yelizateva Shubert, miembros de la nobleza rusa.

Ella misma, en su Recolletions of Chilhood (Recuerdos de infancia) da cuenta de sus primeros años. Educada con una nodriza inglesa, sus primeros años  transcurrieron en Plabino, el estado de los Krukovsky. Aprendió aritmética y pudo estudiar con un tutor, para avergonzar a su primo. No era admisible que una niña pudiese adelantar a un joven en esa materia. Se hizo con un libro escrito por el profesor Nicolás Tirtov, Elementos de física, y, al no poder seguir la trigonometría, la desarrolló por su propia cuenta. Creció en un estimulante ambiente intelectual. Llegó a conocer a Dostoievski, Turganev, Chejov y Elliot. Su relato acaba a los 14 años. Por entonces cae en sus manos un libro escolar de su padre sobre el cálculo diferencial e integral que significó su introducción en este ámbito matemático.

De hecho, su interés por las matemáticas se despertó de forma curiosa mucho antes. Dado que faltaba tapiz para todos los cuartos de la amplia casa de campo que su familia tenía en Biolorrusia, una de las habitaciones de los niños fue tapizada con hojas de las conferencias litografiadas de Ostrogradski sobre cálculo diferencial e integral. Sonya se pasó horas tratando de descifrar las fórmulas y el texto (15).

Su familia se instaló en San Petersburgo cuando ella tenía 17 años. Con autorización paterna, recibió clases particulares de N. Strannolyubsky, profesor de matemáticas de la Academia Naval de San Petersburgo, quien inmediatamente reconoció en ella su potencial matemático. Años más tarde, ambos trabajaron juntos para conseguir fondos destinados a Universidades femeninas.

A pesar de sus excelentes resultados no pudo entrar en la Universidad. Su condición de mujer se lo impedía. En 1861, la Universidad de San Petersburgo había abierto sus aulas a las mujeres, pero poco después el gobierno mandó cerrar la Universidad ante la agitación estudiantil. Cuando fueron reabiertas, el “privilegio” de la educación de las mujeres había sido retirado.

Con su hermana Anyuta, formaba parte de un joven movimiento popular que promovía la emancipación de la mujer en Rusia. Una forma de escaparse para estudiar eran los matrimonios de conveniencia. Así lo hizo. Se casó con Vladimir Kovalevsky, joven paleontólogo que tenía intención de ir a estudiar a Alemania. En 1869, la pareja viajó a la Universidad de Heidelberg. Ella siguió allí los cursos de Kirchhoff, Helmhotz, Koenigsberger y de du Bois-Reymond. Destacó entre sus colegas de  estudios. En 1871 puso sus miras en la Universidad de Berlín y en el venerado matemático Karl Weierstrass (1815-1897), mientras su marido emprendía viaje a Jena para obtener su doctorado.

Organizó un encuentro con Weierstrass para pedirle una tutoría privada. El célebre matemático quiso quitársela de encima dándole una serie de problemas tan difíciles de resolver que esperaba no verla nunca más. No lo consiguió. Una semana después, Sofia estaba de vuelta blandiendo sus soluciones. Se ganó el respeto del maestro que encontraba en ella “el regalo del genio intuitivo hasta un grado raramente encontrado ni entre los más antiguos e instruidos estudiantes”. Weiestrass ejerció su tutoría privadamente durante cuatro años. Su relación  llegó a ser más que la de un maestro con su discípula. Fueron colegas y amigos íntimos. Fue él quien consiguió permiso, después de repetidas peticiones, para que Sonya pudiera usar la biblioteca de la Universidad.

En 1874 escribió tres artículos sobre ecuaciones diferenciales parciales, sobre integrales abelianas y sobre la dinámica de los anillos de Saturno (16). Fue precisamente con este tema con el que se doctoró en este mismo año, convirtiéndose en la primera mujer que consiguió este grado académico en la Universidad moderna.

Kovalevskaia estuvo implicada en la causa de la emancipación de la mujer y en el combate por la libertad de los polacos. No sólo eso. Durante la tutoría de Weiestrass, y a pesar de sus consejos de moderación política, Sofia marchó al París de la Comuna de 1871. Atendió heridos y enfermos y entabló contacto con los líderes de la ciudad asediada. Los soldados de Bismarck llegaron a disparar contra ella.

Con el doctorado y con las cartas de recomendación de Weiestrass, pensó obtener alguna plaza académica en Europa. Regresó a Rusia donde se unió con su marido. Tuvieron una hija, Foufie, en 1878. Embarcados en negocios, un amigo nada escrupuloso involucró a su marido Vladimir en pésimas especulaciones financieras que le impulsaron a la desgracia y al suicidio en 1883.

Con el apoyo de Gösta Mittag-Leffler consiguió un puesto de profesora en la Universidad de Estocolmo. En 1899, se convirtió en la primera profesora vitalicia de una Universidad. Nadie antes que ella lo había conseguido. Sonya se sintió halagada por el reconocimiento que significaba su nombramiento de profesora universitaria, sin dejar de tener dudas:

“Nunca he buscado ningún otro puesto, e incluso debo admitir que me sentiría menos atemorizada e intimidada si sólo me dieran la posibilidad de aplicar mi conocimiento en las ramas más altas de la educación. Es posible que así pueda abrir las universidades para las mujeres, lo cual hasta ahora sólo ha sido posible como favor especial -un favor que puede ser negado en cualquier momento, como ha ocurrido recientemente en las universidades alemanas...” (17)


Fue también la primera mujer que ocupó el puesto de editora de la revista Acta Mathematica. Siguió completando sus estudios de análisis e investigó el tema de la propagación de la luz en medios cristalinos. Con su memoria Sobre la rotación de  un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo (18), de 1888, consiguió el Premio Bordin de la Academia Francesa de Ciencias. Con esta clase de investigaciones logró triunfar también en 1889, en un premio otorgado por la Academia Sueca de Ciencias. A finales de este mismo año fue elegida miembro de la Academia Rusa de Ciencias, empero no logró alcanzar un puesto académico en su país.

Murió poco después de un resfriado sin aparente importancia contraído en París el 10 de febrero de 1891, a los 41 años. Sucintamente, sus principales aportaciones matemáticas fueron :

1. El teorema que lleva hoy el nombre de Cauchy-Kovalevsky, básico en la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales. Su trabajo se titulaba “Zur Theorie der partiellen Differential-glechungen”, Journal für die reine angewandte Matehmatik, 80, 1875.

2. Examinó el concepto analítico desarrollado en la obra de Legendre, Abel, Jacobi y Weiestrass, que dio pie al trabajo de su segundo doctorado, que llevaba por título Über die Reeduction einer bestimmeten Klasse Abelscher Integrale dritten Ranges auf elliptische Integrale”, Acta Mathematica, 4, 1884, 393-414. En su trabajo ganador del Premio Bordin, generalizó los resultados de Euler, Poisson y Lagrande que consideraban dos casos elementales de la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo.

3. Sus estudios sobre la dinámica de los anillos de Saturno. De ahí que, en 1886, el algebrista inglés Sykvester escribiera un soneto en el que la nombra “Musa de los Cielos o que su hermano matemático, Fritz Lefler, escribió igualmente un poema en su honor: “Mientras los anillos de Saturno brillan todavía/ Mientras los mortales respiran/  El mundo recordará siempre tu nombre”

Además de todo ello, siguió una cierta carrera literaria con la publicación de The Universitary Lecturer, The Nihilist (no acabada), The Woman Nihilist y A story of the Riviera. Colaboró con la hermana de Mittag-Leffler, Anne Charlotte Leffler-Edgren, en el drama The Struggle for Pappiness, escribiendo además en solitario un comentario crítico sobre G. Elliot.

 

5. Emmy Noether (19)

...No tuve éxito, ni tampoco logré nada con un intento de que fuese nombrada miembro de la Academia de Ciencias de Gotinga. Tradición, prejuicio, consideraciones externas, pesaron en contra de sus méritos y grandeza científica, que por entonces nadie negaba. Durante mis años en Gotinga, 1930-1933, ella fue sin duda el centro de actividad matemática más fuerte, considerando tanto la fertilidad de su programa de investigación científica como su influencia sobre un amplio círculo de discípulos.

Hermann Weyl


Noether nació en Erlangen, en 1802, hija del matemático Max Noether, distinguido catedrático de la Universidad de su ciudad natal. Después de asistir ocho años a la Escuela Municipal Superior para Hijas, de Erlangen, Emmy pasó con excelentes notas los exámenes para maestros de francés e inglés. Con esta oposición, se la habilitaba para poder poder dar clases en cualquier institución femenina.

Noether no se conformó con ello. Deseaba seguir estudiando. Tal vez por sus relaciones familiares, pudo estudiar en la Universidad de Erlangen  y en la de Göttingen, pero como oyente, ya que en aquellos años las mujeres seguían siendo personal no-admitido como estudiantes oficiales: el sesudo Senado de la Universidad de Erlangen había declarado en 1898 que la admisión de mujeres destrozaría todo orden académico.

Consiguientemente, pudo asistir a clase, pero no pudo examinarse hasta 1903, cuando la Universidad cambió sus estatutos. Obtuvo su doctorado en 1907 por su trabajo “Sistemas completos de invariantes para formas ternarias bicuadráticas”, con la calificación de summa cum laude. Paul Goron fue su tutor.

Trabajó en el Instituto Matemático de Erlangen, sin ningún salario, ayudando a su padre, ya entonces muy mayor y desarrollando sus propios proyectos en el campo de las teoría de los invariantes algebraicos. En 1915, se trasladó a Gotinga reclamada por Hilbert y Klein, las grandes figuras de aquellos años de la matemática en Alemania. Su célebre teorema de 1918 sobre las relaciones entre invarianzas y leyes de conservación surgió de los intereses de Hilbert  por la relatividad general einsteiniana.

El teorema que lleva su nombre -el teorema de Noether- es empleado en mecánica y teoría de campos. Pertenece al cálculo diferencial y pasó inadvertido en su momento. Goza actualmente de enorme prestigio entre los físicos de partículas (20). El teorema basa en las propiedades de invariancia de las leyes del lagrangiano de un sistema, bajo la acción de ciertas transformaciones llamadas simetrías, las leyes de conservación a las que obedece dicho sistema, leyes de conservación llamadas también “principios” porque rigen en todas las leyes de la naturaleza. Así, el principio de conservación de la energía, el principio de la cantidad de movimiento o impulso de los cuerpos o el principio de conservación del momento cinético.

El principio de conservación de la energía en mecánica clásica, por ejemplo, enuncia que la energía total, la cinética y potencial de un sistema aislado, de un sistema que no intercambie energía con el exterior, es constante. Otros principios de conservación son el de la carga eléctrica, el del número bariónico o el del número leptónico. De forma general: si al principio de una reacción se cuenta cierto números de entidades (cargas, bariones, leptones) al final se encontrarán los mismos números.

El teorema de Noether funda los principios de conservación en la invariancia formal de las leyes de la física. En mecánica un sistema queda descrito por una función matemática que depende de sus coordenadas de posición y velocidad, así como del tiempo. Esta función se llama el lagrangiano del sistema y es igual a la diferencia entre la energía cinética y la potencial. La cuestión es: ¿qué leyes físicas son válidas aunque se cambie el sistema de coordenadas efectuando en él unas transformaciones llamadas, muy genéricamente, simetrías, como las traslaciones o rotaciones?

Este teorema presenta una correspondencia entre cada principio de conservación de una magnitud física (la energía, el impulso, la cantidad de movimiento) y una invariancia formal de las leyes de la física. Dicho de otro modo: para toda simetría continua (por ejemplo, una rotación espacial) del lagrangiano del sistema, hay una magnitud conservada a lo largo de la evolución del mismo. Las conclusiones más interesantes se obtienen en el caso de las transformaciones euclídeas, como las espaciales, las rotaciones o las temporales, es decir, en los casos en que la transformación no deforma los objetos. En estos casos simples, el teorema conduce a los siguientes resultados: 1. Cuando un lagrangiano es invariante simétrico, por traslación temporal, su expresión formal no cambia al variar la variable tiempo, con lo que la energía total de sistema se conserva durante el movimiento. 2. Si es invariante el sistema por traslación espacial, la magnitud conservada es el impulso. 3. Cuando es invariante por rotación, se conserva el momento cinético.

Aquí están los tres grandes principios de la física clásica: el de energía, que se basa en la invariancia del lagrangiano por traslación temporal; el de conservación del impulso mecánico, que se basa en la invariancia por traslación espacial, y el del momento cinético, que se funda en la invariancia por rotación. Como consecuencia de ello, la conservación de la energía remite a la constancia de las leyes de la física y, consiguientemente, a la uniformidad del tiempo; la conservación de la cantidad de movimiento, a la universalidad de las leyes físicas y, finalmente, la conservación del momento cinético a la isotropía.

A pesar de sus méritos indudables, Noether no consiguió ningún puesto académico en la Universidad de Gotinga. Ni siquiera pudo pasar la prueba de habilitación ya que, según la ordenación legal de 1908, ésta sólo podía ser concedida a los candidatos masculinos. Una protesta posterior ante el Ministerio de Cultura hizo que
la ley fuese derogada. Cabe remarcar que, según testimonio de Hermann Weyl, fueron los mismos matemáticos e historiadores quienes más se opusieron a su nombramiento.

Acabada la primera Guerra Mundial, las cosas cambiaron un tanto. Emmy Noether pudo superar en 1919 la última prueba para conseguir su habilitación, que consistía en dar una conferencia. A partir de entonces pudo dar clases en la Universidad y recibir parte del dinero que pagaban sus estudiantes. En 1922, recibió un título académico que era un mero título sin obligaciones y sin salario. Posteriormente obtuvo un modesto Lehrauftrag (Encargo de Magisterio) para álgebra que llevaba asociado una pequeña remuneración. Así permaneció hasta 1933.

Siendo judía, la llegada del nazismo al poder complicó aún más su situación. En abril de este mismo año, se le retiró tanto su venia legendi como su Lehrauftrag y con ello su salario. Con la ayuda de Mawr en Pennsylvania y de Sommerville en Oxford, ambas colegas femeninas, pudo conseguir un trabajo, de un año académico de duración, en el Bryn Mawr College. En octubre de 1934, se exilió a Estados Unidos.

A partir de 1934 empezó a dar clases semanales en el Institut for Advanced Study de Princeton, no lejos del Bryn Mawr College, donde se le renovó de nuevo su contrato académico por un año. La suerte sin embargo, no la acompañó. En 1935, el 14 de abril, nuestro día republicano por excelencia, moría Emmy Noether en el Bryn Mawr Hospital como consecuencia de una operación que, aparentemente, no representaba peligro alguno.

Además del teorema que lleva su nombre y que algunos estudiantes y profesores atribuyen inconscientemente a un tal señor Noether, su influencia ha sido determinante en la creación de lo que ha sido llamado “álgebra moderna”.

 

6. El viejo fantasma

¿Qué les pasa a los hombres, qué les ha pasado desde el principio de los principios en su referencia a las mujeres?¿Por qué han creído cumplir con ellas sólo a base de sus sonrisas de complicidad entre ellos, con sus engañosos paternalismos, con su rígida tozudez interior y su aparente generosidad al concederle siempre los segundos puestos en una historia que se ha hecho, escrito y vivido en común?

Carmen Alcalde

Parece pues evidente la discriminación sexista a lo largo y ancho de la historia de las matemáticas. Obsérvese, por otra parte, que las mujeres matemáticas de las que hemos hablado tienen un determinado origen social. El padre de Kovalevsky, por ejemplo, era general de Artillería y el padre de Noether era Catedrático de la Universidad de Erlangen. Si una persona reunía, simultáneamente, las condiciones de ser mujer y tener otro origen social, entonces... lo mejor era apagar la luz y soñar, soñar en la oscuridad. No había otra posibilidad.

William Dunham pone un excelente ejemplo para dar cuenta de la situación (21). Euler tuvo 13 hijos. Con más exactitud, fue “padre” de 13 hijos, de los que cinco sobrevivieron. Es obvio que alguien debía alimentarlos, vestirlos, limpiar su ropa y sus pañeles, cuidarles, etc. La persona que hacía todas estas interminables tareas, como la lectora (e incluso el lector), habrá imaginado, no fue Euler. La pregunta que parece imponerse es:

“¿Qué hubiera ocurrido si la situación hubiera sido la opuesta, si el zapato estuviera cambiado de pie? ¿Habrían triunfado en matemáticas las señoras Euler, Ramanujan o Erdös, si sus necesidades diarias hubieran sido resueltas por otra persona? ¿Habrían sido famosas estas mujeres si hubieran tenido cantidad de tiempo para dedicarse a la contemplación matemática? Nadie lo sabrá nunca. Pero ¿aparecerían más mujeres en los anales de las matemáticas si hubieran recibido la misma clase de apoyos que estos hombres? Indudablemente”.

Este ha sido, sin duda, el pasado más reciente. ¿Qué puede conjeturarse de nuestro presente? Es obvio que muchas de esas barreras han sido derrumbadas. En la mayoría de las universidades no se impone a las mujeres el tipo de prohibiciones que se impuso a Germain o a Noether. Los datos, más bien, apuntan a un cierto optimismo. Dunham señala que en el curso académico 1990-1991, las instituciones universitarias norteamericanas concedieron 14.661 títulos de grado medio en matemáticas. De ellos, el 47%, 6.917, eran para mujeres. Esta situación era prácticamente inimaginable hace 40 años. Otra cosa sería preguntarse sobre la situación en otros países del mundo occidental y en países de otra situación geográfica y con otros esquemas culturales.

En el mismo año académico, en los grados avanzados, de nuevo según Dunham, los 2/5 de las licenciaturas y 1/5 de los doctorados en ciencias matemáticas fueron de mujeres. Con buen tino, el excelente conocedor de Euler señala que, como los futuros investigadores matemáticos y profesores universitarios salen de los estudios superiores, de licenciatura y de doctorado, la situación sigue obviamente desequilibrada

La situación puede explicarse apelando a razones históricas. Muchas mujeres han aspirado a un puesto de profesoras en la enseñanza preuniversitaria ¿Por qué negarse un puesto en la Universidad o en la investigación punta? Tal vez, apunta Dunham, porque la bajo autoestima fomentada durante siglos y siglos haya dejado y siga dejando huella. Los varones matemáticos tienen más colegas entre el gremio. Una mujer puede encontrarse bastante sola en el, en ocasiones, inhóspito mundo académico.

Esto en cuanto al tema de la discriminación sexista. Sobre otros puntos concernientes a la cuestión, como la tópica y repetida argumentación de que los chicos son más hábiles que las chicas para las matemáticas ya se han publicado numerosos trabajos de interés (22). Queda el tema del sexismo ya no en cuanto a las posibilidades de acceder a ciertos tipo de estudios, sino la discriminación implícita en el mismo quehacer científico. Pierre Thuillier, Evelyn Fox Keller y Brian Easlea (23), entre muchas y muchos otros, se han referido reiteradamente a esta cuestión.

Hay, empero, otro sexismo más sibilino que acosa por doquier y ante el cual es bueno mantener la guardia vigilante. Douglas R. Hofstadter, refiriéndose a los personajes de su inolvidable ( y no olvidado) Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle (24), comentaba la siguiente anécdota:

A medida que iba escribiendo su suite gödeliana-bachiana se fue dando cuenta de que todos los personajes principales que había usado e inventado para sus diálogos eran masculinos:  Zenón, el Cangrejo, El Oso Hormiguero, Sr. Perezoso, Locutor,... Consciente de la situación, Hofstadter intentó construir algún personaje femenino principal , pero le parecía que no había que hacerlo de forma demasiado artificial. Al final el personaje femenino, buscado y deseado, no fue encontrado.

Preguntándose él mismo por las razones de esa situación pensó que la clave estaba en el ensayo que le había servido de inspiración para su libro (25). Se trataba del insuperable diálogo de Lewis Carroll, What the Tortoise said to Achilles (26), en el que el autor de Alicia a través del espejo muestra de forma brillante e irónica la imposibilidad de pretender probarlo todo.

Satisfecho de su reflexión, Hofstadter quedó tranquilo. Pero, dos años más tarde, en la presentación de su libro, una lectora le interrogó por los motivos de la masculinidad de los personajes centrales. Hofstadter, mecánicamente, se dispuso a dar la respuesta, su respuesta: me inspiré en el diálogo de Carroll y allí los dos personajes son masculinos, Aquiles y el Sr. Tortuga... De golpe un relámpago estalló en su mente ¿por qué había pensado que the Tortoise era un personaje masculino?

Acudió al libro de Carroll y se enfrentó a la cruda realidad. El célebre lógico, el autor de las Alicias, no había asignado sexo alguno al personaje the Tortoise en ningún paso del diálogo. Fue Hofstadter quien presupuso su sexo, convirtiéndole en el Sr. Tortuga.

Así que parece que la lección es obvia: estemos vigilantes, el viejo fantasma del sexismo ataca constantemente, presentándose esta vez con redes muy sibilinas que hacen caer en sus trampas malignas al más pintado de los mortales. Incluso, a uno de los lógicos contemporáneos más brillantes y, por diferentes motivos, al mismísimo “maestro de los que saben”. Se trata, en definitiva, de escuchar y de oír:

“...y se llevarían grandes sorpresas si, modestamente, se sentaran a escuchar sus palabras. Se darían cuenta de que no estamos tan lejos los dos sexos como ellos suponen. Mas, para escuchar hay que dejar de pensar que uno es el rey del Universo. Y al igual que los monarcas sólo escuchaban de los bufones aquello que les complacía, la gran mayoría de los hombres tienen pavor a oír esa nueva palabra que va surgiendo lentamente de los infiernos: la palabra de la mujer”  (27)

Pere de la Fuente

(IES Terra Roja)

Salvador López Arnal

(IES Puig Castellar)

 

Notas

(1) Aristóteles, Política. Editora Nacional,  Madrid 1977.

(2) Wlliam Dunham,El mundo de las matemáticas. Editorial Pirámide, Madrid 1995, p. 389

(3) M. Kline, El pensamiento matemático de la antigüedad hasta nuestros días, vol I, Alianza Universidad, Madrid, 1992, pp.179 y 246; Carl Sagan, Cosmos, Planeta, Barcelona, 1980, pp.19 y 335-336  y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol. VI, pp.615-616. El artículo está firmado por Edna E. Kramer. Igualmente puede consultarse el excelente trabajo de A.W.Richeson,”Hypatia of Alexandria”, en National Mathematics Magazine, 15, nº 2, nov. 1940, pp.74-82.

(4) La información sobre la muerte de Hipatia está descrita en la obra de Sócrates el Escolástico, historiador cristiano del siglo V. Véase Margaret Alic, El legado de Hipatia. Historia de las mujeres en la ciencia desde la Antigüedad hasta fines del siglo XIX, Siglo XXI, México, 1991, p. 62.

(5) Wlliam Dunham, Viaje a través de los genios, Editorial Pirámide, Madrid, 1992, pp.306-308 y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol V, pp.375-376. El artículo está firmado por Edna E. Kramer. Puede consultarse igualmente la excelente aproximacióm de H.Stupuy, “Notice sur la vie et les oeuvre de Sophie Germain”, en Oeuvres  philosophiques de Sophie Germain, París, 1879, pp.1-92.

(6) Pierre de Fermat, abogado y matemático francés, coetáneo de Descartes, consignó al margen de la Aritmética de Diofanto la famosa enunciación de su célebre teorema: “Cubum autem in dues cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratosqudratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere, cujus rei demonstrationem mirabilem sane etexi. Hancs marinis exiguitis non caperet” (Un cubo no es nunca la suma de dos cubos, una potencia cuarta no es nunca la suma de dos potencias cuartas, y más generalmente, ninguna potencia superior a dos es suma de dos potencias análogas. De esta proposición he encontrado una semostración maravillosa, que no cabe en la estrechez de este margen). Fermat hizo numerosas anotaciones marginales en su ejemplar de la obra de Diofanto, en traducción latina de C.G.Bachet.  Tras su muerte en 1665, su hijo publicó una segunda edición de la traducción de Bachet que incluía en un apéndice las notas marginales de Fermat, El libro de Diofanto se tradujo con el título Seis libos de aritmética y un libro sobre números poligonales, por Diofanto de Alejandría con comentarios del distinguido caballero Bechat y observaciones del Señor P. de Fermat, Senador de Tolosa” y “un nuevo descubrimiento de Doctrina Analítica, recopilada de diveras cartas del mismo señor de Fermat”

(7) Es fácil demostrar  que si para un cierto n, por ejemplo el 13, no hay solución, es decir, no hay x, y, z que cumplan que la suma de la enésima potencia de x más la enésima potencia de y sea igual a la enésima potencia de z, entonces para todo múltiplo de 13, tampoco hay solución. De esta forma el teorema de Fermat se demostraría probándolo para n igual a 4 y para n igual a cualquier número primo, ya que todo otro número puede concebido como múltiplo de los anteriores.

(8)  De hecho lo que Fermat demostró es que el área de un triángulo pitagórico no puede ser cuadrado perfecto de ningún número entero, es decir, que si x,y, y z son enteros positivos, tales que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero, entonces (1/2)xy no es cuadrado de ningún número. Del anterior teorema se deduce, de forma relativamente sencilla, el teorema de Fermat para cundo n es igual a 4. Puede consultarse el excelente artículo de Harold M.Edwards. “Pierre de Fermat” en Grandes Matemáticos. Tema 1, Prensa Científica, S.A., Barcelona, 1995, pp.26-34.

(9) Una excelente historia de las vicisitudes de este teorema puede verse en Catherine Goldstein, “El teorema de Fermat”, en Mundo Científico, 146, vol.14, pp.416-423

(10) Como es sabido Andrew Wiles, profesor de la Universidad de Princeton, ha conseguido una demostración del teorema (Andrew J. Wiles, “Modular Elliptic Curves and Fermat´s Last Theorem” en Annals of Matematics, vol 141, nº 3, pp.443-551, mayo 1995).De hecho lo que Wiles ha establecido es un esquema de demostración de la conjetura STW (Shimura-Tanuyama-Weil) para el caso de las curvas elípticas semiestables, caso particular de la conjetura STW que basta para probar el último teorema de Fermat. La correspondencia STW establece una correspondnecia precisa entre el conjunto de las curvas elípticas y el conjunto de las funciones p “formas” llamadas modulares.

Por otra parte, la historia del último teorema de Fermat parece poner en dificultades una concepción metodológica como la de Popper, como mínimo, en lo que respecta a las ciencias matemáticas. Aquí lo que se ha tratado no es de falsar la conjetura de Fermat, sino de probarla. Estos intentos probatorios, lejos de caer en el dogmatismo o en la defensa irracional de un enunciado o en el anquilosamiento del desarrollo científico, han supuesto un avance considerable del quehacer matemático.

(11) William Dunham, Viaje a través de los genios, Editorial Pirámide, Madrid, 1992,pp.307-308.

(12) Ibid. p. 308. Puede verse igualmente El legado de Hipatia, op. cit., pp.177-178.

(13) Editada en París en 1826.

(14) W.Dunham, El universo de las matemáticas, Editorial Pirámide, Madrid, 1995, 376-379, Jean Dieudonné, En honor del espíritu humano. Las matemáticas hoy, Alianza Universidad, Madrid, 1989, p. 356  y Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol. VII, pp.477-480. El artículo está firmado por Edna E. Kramer.Singularmente puede consultarse P.Polubarinova-Kochina, Sophia Vasilyevna Kovalevskaya, Her Life and Work, traducción inglesa, P. Ludwick (Moscú, 1957)

(15) El legado de Hipatia, o. c., p.192

(16) “Zusätze und Bemerkungen zu Laplaces Untersuchungen über die Gestalt der Saturnsringe”, en Astronomische Nachrichten, 3 (1883), 37-48.

(17) El legado de Hipatia, o.c., p.199.

(18) “Sur le problème de la rotation d´un corps solide autour d´un point fixe”, en Acta Mathematica, 12,(1889), 177-232

(19) Puede encontrarse información básica sobre Emmi Noether en José Manuel Sánchez Ron, El poder de la ciencia, Alianza editorial, Madrid, 1992, pp.193-196, Jean Dieudonné, En honor del espíritu humano. Las matemáticas hoy, Alianza Universidad, Madrid, 1989, p.360 y en Emmy Noether.A tribute to her life and work, James W. Brewer y Marthe K.Smith, eds, Marcel Dekkler, Nueva York, 1981.

(20) Para este apartado puede consultarse el excelente artículo de Alain Boutot, “El poder creador de las matemáticas”, en Mundo Científico, 98, enero 1990.

(21) William Dunham, El Universo de las Matemáticas, Editorial Pirámide, Madrid, 1995, pp.383-384.

(22) J.Beckwith y J.Durkin, “Chicos, chicas y matemáticas”, mientras tanto, 10, diciembre 1981, pp.71-83

(23) Pierre Thuillier, Las pasiones del conocimiento, Alianza Universidad, Madrid 1992, Tercera parte, pp.91-114 y Evelyn Fox Keller, Reflexiones sobre género y ciencia, Edicions Alfons el Magnànim, Valencia,1989

(24) Existe una versión castellana debida a Mario A. Usabiaga y Alejandro López Rousseau., Tusquests, Barcelona, 1987

(25) Douglas R. Hofstadter, “Las “presuposiciones tácitas” y sus efectos sobre el pensamiento y el estilo literario”, en Investigación y ciencia, 76, enero 1983, pp.106-111

(26) Existe una versión castellana de What the Tortoise said to Achilles debida a Leopoldo Panero y recogida en Matemática  demente, Tusquets, Barcelona 1980, pp. 217-224.

(27) Antonia Rodrigo. Nuestra fuente: Carmen Alcalde, Mujeres en el franquismo, Flor del Viento Ediciones, Barcelona, 1996, p. 95.

[Veure més articles sobre les Matemàtiques al número 27 de la revista Sota el cel del Puig, març de 2007.]